Humbja e sigurisë / Përktheu Aleko Minga

 

kline

 

Humbja e sigurisë

Përktheu Aleko Minga
Botimet IDK
Nëntor 2013

 

 

f.203
Në veprën e tij “Logjika formale” (1847), de Morgan shprehu idenë që logjika duhej të merrej me studimin e relacioneve në trajtë të përgjithshme. Kështu logjika aristoteliane merrej me studimin e relacionit “të jesh” (x është y).
Ja një shembull klasik: “Të gjithë njerëzit janë të vdekshëm”.
Por logjika aristoteliane, sipas fjalëve të de Morgan, nuk është në gjendje të deduktojë nga pohimi “Kali është kafshë” pohimin “Koka e kalit është kokë kafshe”. Për këtë duhet futur një premisë plotësuese e tillë që “të gjitha kafshët kanë kokë”.
Në veprate Aristotelit ka fragmente që u kushtohen logjikës së relacioneve, megjithëse ai ka shkruar për to shkurt dhe në mënyrë të paqartë. Përveç kësaj shumë punime të Aristotelit dhe përgjithësimet që bënë shkencëtarët e mesjetës kanë humbur pa nam e nishan në shekullin XVII.
Për nevojën e një logjike të relacioneve bindesh lehtë. Kështu, arsyetimi që vijon, i ndërtuar vetëm në relacionin “të jesh”, siç shihet është i gabuar:
A është p
B është p
Rrjedhimisht A dhe B janë p.

Me të vërtetë, arsyetimi
Xhoni është vëlla,
Piteri është vëlla,
Rrjedhimisht Xhoni dhe Piteri janë vëllezër (njëri me tjetrin)
fare mirë mund të na çojë në një përfundim të gabuar. Po kështu
Molla është e thartë
Thartësia është shije
Pra, molla është shije.

është gjithashtu përfundim i gabuar.
Logjika aristoteliane nuk arriti të ndërtonte logjikën e relacioneve. Për këtë mangësi pat tërhequr vëmëndjen Laibnici.

 

f. 206
Le të shqyrtojmë thënien
“Në qoftëse Haroldi do ta marrë pagën sot, atëhere ai do të blejë ushqime”.
Këtu p është thënia “Haroldi do ta marrë pagën sot”, q është thënia “ai do të blejë ushqime”.
Por Haroldi mund të blejë ushqime edhe në qoftë se nuk do ta marrë pagën sot.
Rrjedhimisht, implikimi
“Në qoftë se p, atëhere q”
mund të konsiderohet i vërtetë edhe në qoftë se p është e rremë, por q e vërtetë.

Ose
“Në se druri do ishte metal, atëhere druri do ishte i farkëtueshëm”
Të dyja thëniet janë të rreme, por implikimi është i vërtetë…

f. 55
Skolastikëve mesjetarë që përsëritnin Aristotelin dhe merreshin me interpretimin e gjykimeve të ndryshme të qëmtuara në veprat e tij, Galilei u bënte vërejtjen therrëse se “dija merret nga vrojtimet dhe jo nga librat”.
Është e padobishme të diskutosh e të debatosh për Aristotelin. Ata që ai i quante shkencëtarë të letrave, do të donin që studimet në shkencat natyrore t’i ngjasonin studimit të “Eneidas’ apo “Odisesë” dhe ta shndërronin shkencën për natyrën në një shqyrtim tekstesh.
“Para ligjit të natyrës çdo autoritet nuk vlen kurrgjë”.

 

f.65
Skema njutoniane ishte vendimtare për ta bindur tërë botën se natyra mbështetet në parime matematike dhe se ligjet e vërteta të natyrës janë matematike

 

f.81
Për Laplasin tregojnë një histori: kur ai i dha si dhuratë Napoleonit një ekzemplar të “Mekanikës Qiellore”, ky i bëri këtë vërejtje:
“Mësje Laplas, thonë, që ju e keni shkruar këtë libër të trashë mbi sistemin e botës, pa përmëndur as edhe një herë Krijuesin”.
Kësaj vërejtje, thuhet se Laplasi iu përgjigj kështu:
“Nuk më është dashur kjo hipotezë”.
Natyra zinte vendin e Zotit; siç thoshte Gaussi
“Ti, natyrë je perëndesha ime, unë jam shërbetori i bindur i ligjeve të tua”.
Gaussi besonte në Zotin e përjetshëm, të gjithëdishëm e të tërëfuqishëm, por mendimet për
Zotin ai nuk i lidhte aspak me matematikën dhe me kërkimin e ligjeve matematike të natyrës.

 

f.82
Didroi, te “Mendime për interpretimin e natyrës” (1753) ishte ndër të parët që mohonte karakterin absolut të ligjeve matematike.

 

f.91
Gaussi shkruante në një letër:
“Supozimi që shuma e këndeve të trekëndëshit është më e vogël së 180o, çon në një gjeometri kureshtare, të ndryshme nga e jona (euklidiane), kjo gjeometri është krejt koherente; unë e kam zhvilluar atë për vete në mënyrë krejt të kënaqshme. Pohimet e kësaj gjeometrie pjesërisht i duken paradoksale dhe ta pazakonta njeriut, madje absurde; por me një mendim të rreptë e të qetë del se ato nuk përmbajnë asgjë të pamundshme.”

 

f.123
..indianët nuk e çmonin rëndësinë e ndihmesës së vet në zhvillimin e matematikës…(futjen e simboleve të veçanta për të shënuar numrat nga 1 deri në 9; kalimin nga sistemi pozicional i shkrimit të numrave me bazë 60 në sistemin dhjetor; futjen e numrave negativë dhe pranimin e zeros si numër me të drejta të plota…)

 

f.128
Antoine Arnauld, 1612-1694, dyshonte që (-1):1 = 1: (-1).
Si mund të ndodhë një barazim i tillë, pyeste ai, në qoftë se (-1) është më i vogël se 1? Një numër më i vogël nuk mund të ketë raport me një numër më të madh të tillë si një numër më i madh ndaj një numri më të vogël….

 

f.130
Kardanoja shtroi problemin: të ndahet numri 10 në dy pjesë që prodhimin ta kenë 40.
Kjo sillte ekuacionin x(10-x) = 40, që jep zgjidhje 5+ dhe 5 – por rrënjët ai i quante “të padobishme”…

 

f.138
Shumë shpejt, matematikanët e kuptuan fuqinë e algjebrës, e cila zuri një pozitë sunduese në matematikë, duke e shtyrë gjeometrinë në plan të dytë. Psh për gjetjen e pozicionit të trupit të lëshuar verikalisht sipër me shpejtësi 30 m/s, lartësia h gjendej me formulën
h = 30t- 4.9t2 (m)

 

f. 170
Shprehja imagjinare dhe shprehja negative –b janë të ngjashme sepse secilën nga to e hasim si zgjidhje të një problemi që tregon një farë kundërthënie ose absurditeti. Përsa i përket kuptimit real, të dy shprehjet duhen konsideruar njëlloj imagjinare sepse (0-a) është po aq e pakonceptueshme si edhe .
Si shembull, Morgani sjell problemin që vijon:
Një baba është 56 vjeç, kurse i biri 29 vjeç; pas sa vjetësh babai do të ketë dyfishin e moshës së të birit?
De Morgan formon ekuacionin
56 + x = 2(29 + x)
që nga rrjedh x = -2

 

f.184
Përse matematikanët ishin kaq të sigurt në rezultatet e tyre, megjithëse e kuptonin fare mirë, (veçanërisht në shekullin XVIII), që konceptet themelore të analizës matematike nuk ishin formuluar qartë dhe vërtetimet ishin joadekuate?
Pjesërisht një siguri e tillë shpjegohet me faktin që shumë rezultate matematike konfirmoheshin nga përvoja dhe vrojtimet.

 

f.188
Duke e kuptuar shumë mirë që duhej hequr dorë nga mëtimet e matematikës për rolin e saj si bartëse e të vërtetave absolute për botën reale, matematikanët që mendonin në mënyrë kritike në të njëjtën kohë i çmonin ashtu si duhej arritjet kolosale të shkencës së vet në mekanikë, akustikë, hidrodinamikë, në teorinë e elsaticitetit, optikë, në teorinë e elektromagnmetizmit si dhe në shumë degë të tjera të teknikës; ata vlerësonin lart saktësinë e jashtëzakonshme të parashikimeve të matematikës në këto fusha.

 

f.224
Disa paradokse:

1

“Të gjitha rregullat kanë përjashtime”

Vetë kjo thënie është një rregull. Rrjedhimisht, për të mund të gjendet të paktën një përjashtim. Por kjo do të thotë se ekziston një rregull që nuk ka asnjë përjashtim. Thënie të tilla i referohen vetvetes dhe mohojnë vetveten

2
Paradoksi i gënjeshtarit:
“Ky pohim është i gënjeshtërt”= S
Në se S është e vërtetë, atëhere e vërtetë është çka pohon ajo. Rrjedhimisht S është e rreme.
Në se S është e rreme, atëhere çka pohon ajo është e rreme. Rrjedhimisht S është e vërtetë.

3
Variant tjetër:
“Gjithçka që po them unë, është e gënjeshtërt”

“Ajo që vijon pas këtij pohimi, është e gënjeshtërt; pohimi i mëparshëm është i vërtetë”

4
Gëdel
“Më 4 maj A-ja shqipton një frazë të vetme: çdo thënie që bën A-ja më 4 maj 1934 është e gënjështërt”
Kjo thënie nuk mund të jetë e vërtetë, sepse pohon për veten që është e gënjështërt. A-ja duhet të ketë thënë më 4 maj 1934 të paktën një të vërtetë- por A-ja atë ditë tha vetëm një frazë.

5
Rasëll:
Klasa e librave nuk është libër, prandaj nuk e përmban vetveten, por klasa e ideve është ide dhe e përmban vetveten. Katalogu i katalogëve është katalog. Rrjedhimisht, disa klasa e përmbajnë vetveten (e përfshijnë), të tjerat jo. Le të jetë N klasa e klasave që nuk e përmbajnë vetveten. Cilit lloj të klasave i përtket N-ja?
Në se N-ja i përket N-së, atëhere sipas përkufizimit, N-ja nuk duhet t’i përkasë N-së. Në se N-ja nuk i përket N-së, atëhere, sipas përkufizimit N-ja duhet t’i përkasë N-së.

6
Kurt Greling 1908:
Mbiemrat që e përshkruajnë vetveten dhe ato që nuk e përshkruajnë vetveten.
Psh “I shkurtër” ose “shqiptare” e përshkruajnë një person, zbatohen ndaj vetvetes ndërsa “I gjatë” ose “frëng(e), jo, sepse mbiemri i gjatë nuk zbatohet ndaj vetvetes, se s’është i gjatë dhe “freng është fjalë shqiptare dhe jo frenge.
Po ashtu mbiemri “shumërrokësh” është shumërrokësh, por mbiemri “njërrokësh” nuk është njërrokësh..
T’I quajmë autologjikë mbiemrat që zbatohen ndaj vetvetes, të tjerat heterologjikë.
Në se mbiemri “heterologjik” është heterologjik atëhere ai zbatohet ndaj vetvetes dhe për pasojë është autologjik. Por mbiemri autologjik, sipas përkufizimit, është i zbatueshëm ndaj vetvetes. Rrjedhimisht mbiemri “heterologjik” është heterologjik. Kemi kundërthënie.

7
Paradoksi i fjalëve , i Berr-it (G.G.Berry):
Çdo numër i plotë përshkruhet në shumë mënyra me fjalë. Për shembull, numri “pesë” mund të përshkruhet me një fjalë, “pesë’, ose me frazën “numri që vjen pas numrit katër”.
Le të shqyrtojmë tani të gjitha përshkrimet e mundshme që përbëhen prej jo më shumë së 100 shkronjash të alfabetit shqip. Përshkrime të tilla nuk ka më shumë se 27100, prandaj ekziston një bashkësi e fundme n numrash të plotë jo më shumë se 27100), që jepen me të gjitha përshkrimet e mundshme. Për rrjedhojë, ekzistojnë numra të plotë, që nuk jepen me përshkrime, që përbëhen prej jo më shumë se 100 shkronjash.
Le ta shqyrtojmë “numrin më të vogël që nuk jepen me përshkrime që përmbajnë jo më shumë se 100 shkronja”.
Por ne porsa sollëm përshkrimin e një numri të tillë, që përmban më pak se 100 shkronja (ai përmban gjithsej 74 shkronja).

 

f.240
Aksiomatizimi i logjikës:
Ndërtimi i logjikës fillon me konceptet e papërkufizuara. Le të përmëndim disa nga to: koncepti i thënies elementare, dhënia e vlerës së vërtetësisë së një thënie elementare, mohimi i thënies, konjuksioni dhe disjuksioni i dy thënieve, koncepti i funksionit propozicional.
Psh “Xhoni është njeri”, është thënie p
“x është njeri” është funksion propozicional.
Mohim: “Nuk është e vërtetë që Xhoni është njeri”, ose “Xhoni nuk është njeri” (-p) etj.

 

f.271
Hilbert:
Çka duhet të kuptojmë me vërtetim rigoroz?
1) Paraqitja e një formule
2) Pohimi që nga formula e paraqitur rrjedh një formulë tjetër
3) Paraqitja e formulës së dytë

 

f.277
Aksiomat e Cermelo- Frenkelit
1) Dy bashkësi janë identike, ne se përbëhen prej të njëjtëve elementë.
2) Ekziston bashkësia boshe.
3) Në se x dhe y janë bashkësi, atëhere çifti i paradhitur {x, y} është gjithashtu bashkësi.
4) Bashkimi i çdo bashkësie bashkësish është bashkësi.
5) Ekzistojnë bashkësitë e pafundme (kjo i lejon numrat kardinalë transfinitë)
6) Çdo veti, e formalizuar në gjuhën e teorisë, mund të përdoret për të përkufizuar një bashkësi.
7) Lejohet formimi i bashkësisë së nënbashkësive të çdo bashkësie; dmth koleksioni i të gjitha nënbashkësive mund të përsëritet një numër të çfarëdoshëm herësh; dmth të konsiderojmë bashkësinë e të gjitha nënbashkësive të çdo bashkësie të dhënë si një bashkësi të re; bashkësia e nënbashkësive të kësaj bashkësie është gjithashtu bashkësi, etj)
8) Aksioma e zgjedhjes.
9) x nuk i përket x-it.
Vihet re, se këto aksioma nuk lejojnë bashkësinë e të gjitha bashkësive, pra përjashtojnë paradokset.

 

f.303
Një nga tiparet dalluese të matematikës, abstraktësia e saj, lejon të përshkruhen në gjuhën e matematikës dukuritë më të ndryshme fizike. Kështu, valët në ujë, valët zanore dhe radiovalët matematika i përshkruan me të njëjtin ekuacion diferencial, që njihet me emrin ekuacioni valor.

 

f.317
Kepleri vërtetoi se pikërisht sipas prerjeve konike planetët lëvizin rreth Diellit. Oto Neugebuer thotë se prerjet konike u përdorën në orët diellore shumë kohë para Apollonit. Atëhere njihej se parabolat vatërzojnë rrezet e dritës që bien në to.

 

f.323
Matematikën shpesh e krahasojnë me një pemë rrënjët e së cilës kanë depërtuar fort dhe thellë në truallin e begatë natyror. Trungu i pemës janë numri dhe figura gjeometrike. Prej trungut dalin shumë degë, që simbolizojnë konceptet e ndryshme dhe degëzimet e matematikës, që kanë lindur gjatë zhvillimit të saj

 

f.328
Gjatë shumë shekujve njeriu ka krijuar struktura të mëdha si gjeometria euklidiane, sistemi ptolemeian i botës, sistemi heliocentrik i botës, mekanika e Njutonit, teoria e fushës elektromagnetike dhe më vonë- teoria e relativitetit dhe teoria kuantike.
Matematika, siç dihet, është pjesë e pandarë e gjithë këtyre dhe shumë teorive të tjera të rëndësishme dhe të fuqishme, e bazës dhe e thelbit të tyre.

 

f.376
Në më pak se një shekull, përfytyrimet statistiko-probabilitare çuan në lindjen e pikëpamjeve, sipas të cilave dukuritë e natyrës nuk janë të përcaktuara dhe kanë një karakter të rastit, por ekziston një farë regjimi probabilitar, mesatar. Pikërisht atë e vrojtojmë, duke pohuar se ai është i përcaktuar (i determinuar) prej ligjesh matematike.

 

f.380
Matematika mbetet, si më pare, etaloni i dijes më të sigurt e më të saktë, që ne jemi në gjendje të arrijmë.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google photo

You are commenting using your Google account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s